פרק 6: הסיפור של השברים

אולי יגיד אוקיי, לחלק בשבר זה לכפול בהופכי או בהופכי, אבל אני מעדיף להגיד הופכי. הופכי של שלושת רבי זה ארבעה שלישים, שש כפול ארבע זה עשרים וארבע, עשרים וארבע לחלק לשלוש זה שמונה, ולכן שש לחלק לשלושת רבי זה שמונה, שלום ולהתראות. O que está acontecendo? O que está acontecendo? O que está acontecendo? O que está acontecendo? O que está acontecendo? O que está acontecendo? O que está acontecendo?

שאלות טובות נענה להן בפרק הזה של מתמטיקה של מתמטיקה, שמוקדש לאחד הנושאים שמלמדים בבית הספר היסודי, אבל רוב האנשים מתקשים בהם כל החיים. חילוק שברים. זה הפרק ה-60.

המצרים שהיו אימפריה רצינית ורבת הישגים נזקקו להנהלת חשבונות, פקידים והרבה בירוקרטיה בין שאר הדברים שהם ידעו לעשות חוץ מלבנות פירמידות הם ידעו להשתמש בשברים כבר לפני 4,000 שנה בערך, אבל לא בדיוק המון. הם השתמשו רק בשברים שאנחנו קוראים להם שברי יחידה, כלומר כאלו שיש להם אחד במונה, למשל חצי, רבע, שליש, חמישית, שישית, שביעית וכו'. זה גרם לזה שכשהם רצו לייצג מספר כמו שלושת רבע הם היו כותבים רבע ועוד רבע ועוד רבע, כלומר שלושה רבעים. או אם הם רצו לקצר הם כתבו חצי ועוד רבע, שזה גם יוצא שלושה רבעים.

זה לא היה נוח לכתוב ככה וזה לא היה נוח לעשות ככה חישובים, אבל זה מה שהיה להם. אחרי הם באו הבבלים לפני 2,500-3,000 שנה ככה, אבל הם היו בעיות אחרות, בין השאר כי הם עבדו בבסיס 60, אנחנו עובדים בבסיס 10, כלומר עשרוני, וכי לא היה להם סימן לאפס, וסיפרתי כבר בפרק הראשון למה זה יכול להפריע מאוד. אחריהם הרומאים שבכלל השתמשו במילים כדי לתאר שברים ולא בסימנים תארו לעצמכם שבמקום 3 ומתחתיו קו או מתחתיו 4 הייתם צריכים לכתוב את המילים

שלושת רבי, או משהו כזה בכל פעם. זה קצת מתי שהוא מקשה לעשות חישובים ארוכים ומורכבים, ובגלל זה גם פודקאסט על מתמטיקה זה דבר קצת מוזר. רק לפני בערך 2100 שנה הסינים התחילו לעשות חישובים בשברים, מהסוג שהיום מלמדים בבית הספר היסודי. לחבר, לחסר, לכפול, לחלק. ההודים לפני 1500 שנה בערך כבר כתבו שברים כמעט בדיוק כמונו, מספר למעלה, מספר למטה, וגם משתמשו כמעט בדיוק באותן ספרות רק, בלי הקו המפריד באמצע. אותו הוסיפו ערבים שבאו קצת אחר כך. וזהו, באלף ומשהו השנים האחרונות,

ככה אנחנו כותבים שוורים. מספר למעלה, אנחנו קוראים לו מונה, ומספר למטה, שאנחנו קוראים לו מונה.

שבעה מהם נקרא לזה שבע שמיניות, וזהו, פשוט וברור. הדרך שבה מתמטיקאים מודרנים חושבים על זה היא אחרת, ולדעתי שווה להזכיר אותה רק כדי להבין קצת איך אנשים שזה המקצוע שלהם חושבים על דברים כאלה. יש לנו מספרים טבעיים שאנחנו מבינים, הם מונים דברים בעולם. יש לכם אסתיקי בזוק החדשים בכיס, אז יש לנו מספר שמתאר את הכמות הזאת. לא משנה כמה יש לכם, בהנחה שיש לכם כמות כלשהי. 1, 2, 3, 4, כמה שאתם רוצים ונכנס לכם בכיס.

אלו המספרים שמשתמשים בהם כדי לתאר כמויות של דברים שיש לנו, ושאפשר ככה למנות אחד אחד. אז יש לנו מספרים. ויש לנו דברים שאפשר לעשות עם מספרים. אפשר למשל לחבר מספרים. אם מחברים שני מספרים טבעיים, מקבלים מספר טבעי. למשל מחברים 2 ו3, מקבלים 5. הכל טוב. אז אנחנו אומרים שהמספרים הטבעיים סגורים לחיבור, כי כשמחברים שניים זה גם כן נשאר סגור בתוך אותו עולם שלנו של מספרים טבעיים.

אפשר גם לכפול מספרים, 2 פעמים 3 זה 6, 3 פעמים 3 זה 9, לא משנה מה עושים, אם קופלים מספר טבעי במספר טבעי, מקבלים מספר טבעי, זאת אומרת הטבעיים הם גם סגורים לכפל. על חיסור נדבר אולי בפעם אחרת כי הוא מציב אתגרים שלו, אז בואו נדלג לה עכשיו מעליו. אז לפעמים יש לנו מזל. אם אנחנו רוצים לחלק 4 סופגניות שווה בשווה לשני אכברים רעבים, כל אכבר יקבל שתי סופגניות. והתוצאה של החישוב הזה היא גם כן מספר טבעי, המספר 2. אבל מה אם רוצים לחלק שלוש סופגניות לחמישה אכברים ושכל אחד יקבל בדיוק אותו חלק מהסופגניות?

אין לנו שום מספר טבעי שנותן את המענה לשאלה הזאת. זה גם קל לבדוק, ננסה לתת סופגניה אחת לכל עכבר, בום, צריך חמש סופגניות, אין לנו חמש, יש לנו רק שלוש. אז המספר שלנו צריך להיות כנראה יותר קטן מאחד, אבל הוא צריך להיות כמות כלשהי, אין לנו מספר טבעי כזה. אז מה עושים?

במתמטיקה כשחסר משהו אז אומרים אוקיי בוא נעמיד פנים שיש לנו את הדבר הזה שחסר לנו זה בעצם מה שקורה כשעושים אלגברה בחטיבת הביניים אנחנו אומרים שיש לנו מספר שכשמעלים אותו בריבוע או מוסיפים אותו לעצמו מקבלים 20 אבל אנחנו לא יודעים מה המספר אז אנחנו אומרים בואו נעמיד פנים שאנחנו כן יודעים ואפילו שיש לנו סימן שמייצג את המספר הלא ידוע זה נקרא לו X ועכשיו נתקדם מכאן אז אותה עמדת פנים שעושים באלגברה מאפשרת לנו לדבר על שברים. מעכשיו בואו נעמיד פנים שיש כמות כזאת שהיא לא כלום.

אבל היא יותר קטנה מאחד, והיא מייצגת את כמות הסופגניות שכל אחד מחמשת האחברים יקבל. ולכולם יחד יהיו שלוש. נקרא לכמות הזאת שלוש סופגניות לחלק לחמש או שלוש חלקי חמש או שלוש חמישיות. כל השמות האלה אומרים את אותו דבר והוא הכמות שכאשר נחלק שלוש סופגניות לחמישה אחברים שווה בשווה היא מה שכל אחבר יקבל. לגמרי לא במקרה, הדרך שבה מתמטיקאים מתארים את זה מתלכדת בדיוק עם הדרך הפשוטה שתיארתי רגע קודם.

איך אפשר לחלק שלוש סופגניות לחמישה אחברים? בואו נחלק כל אחת מהסופגניות בנפרד בין האחברים. זאת אומרת, בואו נחתוך כל סופגניה לחמישה חלקים שווים, כי יש חמישה אחברים. וניתן לכל אחבר חלק אחד מכל סופגניה, אז כל אחבר יקבל חלק אחד מהסופגניה הראשונה, חלק אחד מהסופגניה השנייה, וחלק אחד מהסופגניה השלישית. חלקים האלה נקראים חמישיות, וכל אחבר מקבל חמישית מכל סופגניה, ויש שלוש סופגניות, אז כל אחבר מקבל שלוש חמישיות.

כדי לדבר על זה, כדאי שקודם לדבר על כפל, כי חילוק היא הפעולה ההופכית לכפל. זה נכון יותר לומר הופקית, אבל אני לא מצליח להתרגל לזה, אז תחיוו עם הטעות שלי. או אולי יותר נוח לומר שחילוק הוא כפל עם גורם לא ידוע. כשאני אומר גורם לא ידוע, אני מתכוון שאם מישהו שואל אותנו כמה זה 14 לחלק ל-7, אנחנו יכולים לנסח מחדש את השאלה ככה.

שנכפול אותו בשבע, ייתן לנו 14. הוא שאל אותנו על חילוק, אז ניסחנו מחדש את השאלה כשאלת כפל, בלי לדעת את אחד המספרים שקופלים. אבל התשובה היא אותה תשובה. ולזה אני מתכוון כשאני אומר פעולה הופכית. זה אגב נכון גם לקשר בין חיסור וחיבור, במקום להגיד כמה זה תשע פחות שש, אפשר להגיד איזה מספר שנחבר אותו לשש, שיתן את הסכום תשע. התשובה לשתי השאלות האלה זהה גם כן. אבל בחזרה לכפל, כי יש פה איזושהי מוזרות שכדאי להסתכל עליה ברצינות.

לעומת זאת 4 פעמים 3 זה לקחת שלישייה של מילקי ועוד שלישייה של מילקי ועוד שלישייה של מילקי ועוד אחת אחרונה עכשיו, אנחנו אנשים תרבותיים, בוגרים רצינים, אנחנו יודעים שזה יוצא אותו דבר, אבל האמת שזה קצת מפתיע שזה בכלל יוצא אותו דבר, כי התמונה שיש לנו בראש היא בכלל לא אותה תמונה, אנחנו לא מתארים את אותו דבר. ובפרק על אחוזים גם הצעתי דרך להסביר למה זה כן יוצא אותו דבר ואני אחזור עליה כאן לטובת כל מי שמאזין לזה והוא בן אדם נורמלי שלא זוכר מיד ולנצח כל דבר שהוא שמע פה.

בואו ניקח את רביעיות המילקי ונפרק אותן. נניח את המילקים על מגש מלבני, כך שכל רביעיה תהיה בשורה ישרה משלה. شורה של 4 מילקים, ומתחתיה עוד שורה של 4 מילקים, ומתחתיה עוד שורה של 4 מילקים. סך הכל, 3 שורות של 4 מילקים. עכשיו, נסובב את המגע שמלבני ב-90 מעלות, מה קרה? עכשיו במקום 4 שורות של 3 גביעים יש לנו 3 שורות של 4 בלי שאוספנו או לקחנו אף מילקי. אז מספר המילקים הכולל לא השתנה.

בעצם אפשר לעשות את זה גם עם 6 שורות של 9, או 140 שורות של 1152, אם יש לנו מגש מספיק גדול והספקה חופשית של מילקים. וזאת בעצם דרך להבין למה כפל אוכל אופי. והמוזרות הזאת, בגלל שכפל וחילוק קשורים, כמו שאמרנו, המוזרות הזאת קיימת גם בחילוק. כי כמו שבכפל יש מספר אחד שהוא הכמות של המילקים, ומספר אחד שהוא כמה פעמים אני לוקח את הכמות הזאת, גם בחילוק יש שתי משמעויות לשאלה כמה זה 14 לחלק לשבע, כשאני מנסח את זה במונחים של כפל. משמעות אחת.

כמה פעמים צריך לקחת 7 מילקים כדי שנקבל 14 סך הכל? משמעות שנייה, איזה מספר של מילקים כשניקח אותו 7 פעמים נקבל 14 מילקים? התשובה היא שתיים בשני המקרים, אבל התמונה בראש היא אחרת. במשמעות אחת יש. שתי קבוצות של שבעה מילקים בכל קבוצה, במשמעות השנייה יש שבעה זוגות של מילקים. מכיוון שעל הדף בכל מקרה כתוב 14 לחלק לשבע, אנחנו חופשים לבחור את הפרשנות שנוכל לנו כדי להסביר לעצמנו כל מיני דברים.

וזה משהו שעושים הרבה פעמים במתמטיקה. לוקחים שני ניסוחים שהמשמעות שלהם זהה, מתמטיקאים אומרים שהם שקולים, ועובדים עם זה שיותר נוח לעבוד איתו, כי מה אכפת לנו? התוצאה תהיה אותו דבר בכל מקרה.

אז בואו נשתמש בפרשנות הנוכה לנו כדי להסביר כמה זה 6 לחלק ל-4. הפרשנות הנוחה פה תהיה כמה פעמים צריך לקחת רבע בשביל לקבל בסוף 6 יחידות. אז יש לנו רבעים של פיצה במקרר, כי אנחנו נגיד אוהבים את הפיצות שלנו בחתיכות גדולות כאלה, מוצאים אותם אחד אחד מהמקרר ושואלים כמה פעמים צריך לפתוח את הדלת של המקרר, כשמוצאים כל פעם רבע, כדי לקבל בסוף 6 פיצות שלמות.

זה קצת ניג'וס לפתוח מחדש את המקרר בכל פעם, ומישהו גם יאיר לכם לא לפתוח ולסגור את המקרר כל כך הרבה כי זה לא טוב לו, ואנחנו פה מוכנים להקריב את המקרר הדמיוני שלנו בשם המתמטיקה. אבל הרי מראש הגדרנו בכלל רבע בתור פיצה אחת לחלק לארבעה חלקים שווים כלומר רבע פיצה זה משהו שבהגדרה יש בול ארבעה ממנו בכל פיצה שלמה וצריך להגיע לשש פיצות כאלה As the Besar called Sheshpermim Arba. אוקיי, אבל מה אם שואלים אותנו כמה זה 6 לחלק ל-3, כלומר ל-3.40?

אז בפרשנות שלנו זה אומר ששואלים אותנו כמה פעמים צריך לקחת את שלושת רבעי כדי לקבל שש. מבחינת התמונה שכדאי להחזיק בראש, שוב אנחנו צריכים להגיע לשש פיצות. ויש לנו במקרר חתיכות שהן רבעים, אבל במקום להוציא את הרבעים אחד אחד, כלומר רבע רבע רבע, וכולי עד שמקבלים שש פיצות מלאות ולהרוס את המקרר, אנחנו מוצאים במקרר בכל פעם שלוש חתיכות במכה. זה כאילו אותו תהליך בדיוק, פשוט עושים אותו בקפיצות של שלוש. אז אם קודם היינו צריכים לפתוח את הדלת של המקרר 24 פעם, עכשיו צריך פחות פעמים. כמה פחות?

אז כאילו שהבן שלי בן החמש צריך 24 צעדים כדי להגיע מהפתח של הבית עד החנייה אבל אני כל צעד שלי הוא בגודל שלושה צעדים שלו אז כמה צעדים אני אצטרך? 24 לחלק ל-3, כלומר 8. ו-6 לחלק ל-3 זה 8. רגע זה נכון זה יצא נכון אפשר לבדוק אם התשובה היא שמונה, אז אנחנו אומרים ששמונה פעמים שלושת רבי יוצא שש. זה לא כזה קשה לבדוק. אתם יכולים פשוט לנסות לחבר שלושת רבי לעצמו שמונה פעמים, או לצייר ולבדוק, או לסמוך עליי. עדיף לא לסמוך עליי. וזה לב העניין. רצינו להבין כמה זה 6 לחלק לשלושה רבעים.

והבנו שזה בעצם לעשות את הדרך עד 6 בהתקדמות של שלושת רווה בכל צעד שזה כמו לעשות את הדרך בצעדים של רבע ואז לחלק את מספר הצעדים בשלוש כי כל צעד הוא פי שלוש יותר גדול מרבע מבחינת טכנית, קפלנו את 6 ב-4 שהוא המכנה. ואז חילקנו בשלוש, הוא המונה, כי הוא משקף את גודל הצעד האמיתי שלנו. יוצא שש לחלק לשלושה רבעים, זה בדיוק 6 כפול 4 לחלק לשלוש, או 6 כפול 4 שלישים, 4 שלישים הוא ההופכי של 3.40, כלומר מה שקורה כשהם מחליפים בין המונה למכנה. ולזה קוראים כפל בהופכי, וזה מה שאמרתי במהירות בתחילת הפרק.

כשמחלקים בשבר לכתול בהופכי יהיה טכניקה שמפעילים כדי לקבל את התוצאה ולחשב כפל אנחנו יודעים הרבה יותר בקלות.

והנה נקודה האחרונה שווה לחשוב עליה, והיא שהטכניקה הזאת בכלל אפשרית בזכות הדרך שבה אנחנו כותבים שברים. אם היינו כותבים את זה במילים, זה היה הרבה פחות ברור. אם היינו כמו המצרים, כותבים שלושת רבע בתור רבע ועוד חצי, זה היה עוד יותר קשה. האופן שבו אנחנו בוחרים לייצג דברים במתמטיקה, הרבה פעמים נובע מכמה נוח לעשות חישובים. המתמטיקה הבסיסית פותחה מאות ולפעמים אלפי שנים לפני שהיו מחשבים, ולכן זה היה מרכיב מהותי בכל הסיפור.

לכתוב מספרים ככה שיהיה נוח לעשות איתם חישובים. מי שידע לבחור דרך מספיק נוחה וחכמה לכתוב ולייצג מספרים, האימפריה שלו הצליחה להתקדם הרבה יותר מהר, כי היו פחות טעויות בחישובים. וזה אומר שהיה אפשר להרים פרויקטים הנדסיים, לבנות קשרים, לבנות פירמידות, להקים מערכת כלכלית ולנהל כיבושים חובקי עולם.

כשאנחנו מדברים על חילוק של מספר בשבר, אנחנו שואלים בעצם כמה פעמים השבר הזה נכנס במספר. זה כמו לשאול קודם כמה פעמים שבר היחידה נגיד רבע נכנס במספר, שזה לכפול במכנה. ואז להגיד לא לא לא, אבל בעצם גודל הצעד שלי הוא המונה. ולחלק בזה. אז אנחנו כופלים במכנה ומחלקים במונה שזה כפל בהופכי. וצריך בעצם להגיד הופכי.

וככה באמת רוב האנשים מסיימים את בית הספר שהדבר הזה נשאר מן קישוף שאף אחד לא יודע להסביר למה הוא עובד למעשה ככה נולד הפרק הזה. חבר שלח לי הודעה בוואטסאפ שהבן שלו, שיש לו יופי של ראש למתמטיקה, קיבל שאלה בשיעורי הבית שכללה חילוק בשבר. והחבר הזה, בן אדם שיודע קצת מתמטיקה, אמר לי, תשמע, אני יודע את הטכניקה של לכבול בהופכי, אבל בחיי שאני מושג למה זה בכלל עובד, אתה יכול אולי להסביר? הסיפור של השברים במתמטיקה שמתמטיקה, פודקאסט על מתמטיקה ללא מתמטיקאים וללא מתמטיקאיות.

אני שיר גרנות פלד תודה לאלון אמסטרדמסקי ולאבא שלו שאול על השאלה ותודה לרימון גרנות פלד ותודה לכם על סבלנות מאז הפרק הקודם להתראות בפעם הבאה