פרק 1: פרק אפס

ולא בחובה, כלומר היא מאוזנת. אותו סימן אגב הוא גם הסימן ליופי או להיות יפה, שזה די ההפך מהכוונה שלנו היום כשאנחנו קוראים למישהו האפס. אדריכלים ובנאים במצרים העתיקה השתמשו באותו סימן כדי לסמן את גובה האדמה ומדידות נעשו ביחס אליו כדי לומר נגיד שהקומה השנייה של הפירמידה היא במרחק מסוים מעל גובה האדמה כלומר מעל האפה ואיזושהי מערה סודית היא מתחתיו.

אחרת, אם כותבים כדי לסמן את המספר 100 רק אחת בעמודת המאות ושני מקומות ריקים עבור עשרות ואחדות, זה נורא קל להתבלבל בינו ובין המספר 1 או 10 או אפילו אלה. הבבלים ניסו להשתמש ברווחים בשביל עמודות ריקות, וזה באמת יצא להם מבלבל, והיו להם מספרים שנכתבו באותה צורה, ורק מההקשר היה אפשר להבין לאיזה מספר מתכוון הכותב. הסינים התמודדו עם בעיה דומה, ובשלב כלשהו נאלצו להמציא סימן ל-0. ב-690 לספירה ליתר דיוק, הקיסרית וו הנהיגה מערכת סימנים שכללה סימן ל-0 שהיה מעגל רכב. Ще мазки имат да снима на модернили.

גם בני המאיה וההודים גילו שצריך איכשהו לסמן את העמוד ההריקה, והשתמשו בסימנים שונים כדי לעשות את זה. איכשהו דווקא ליוונים שהיו די אלופים בגיאומטריה לא היה סימן לאפס, והם אפילו התפלספו ארוכות על האם כלום או היעדר של כמות יכול בכלל להיחשב מספר.

אפס, קודם כל היה דרך לסמן עמודה ריקה, וזה באמת מעלה את השאלה שהיוונים שאלו, האם אפס הוא מספר? הרי כדי לכתוב משפטים אנחנו משתמשים בסימני פיסוק. אבל אנחנו לא אומרים שפסיק או סימן קריאה הם אותיות. היום נהוג להגדיר את המספרים הטבעיים באמצעות קבוצות באופן שנדבר עליו בפעם אחרת והוא קצת משונה ולא אינטואיטיבי אבל הוא מאפשר לבנות סדרה של קבוצות שמתחילה בקבוצה הריקה, ולכל קבוצה בסדרה יש מספר שאומר כמה איברים יש בקבוצה הזאת. ולקבוצה הריקה, שאין בכלום, מתאים המספר 0.

האם 0 הוא זוגי? אפשר להגדיר זוגיות גם כך. יש לנו שתי צנצנות של אוגיות. אם בשתי הצנצנות יש מספר שווה של אוגיות, אז ביחד מספר האוגיות הכולל הוא זוגי. כאשר שתי הצנצנות ריקות, יש בשתיהן מספר שווה של אוגיות, אם אנחנו מקבלים שהאפס הוא מספר, ולכן מספר האוגיות הכולל, זאת אומרת אפס. וזה אחד הדברים שחוזרים אליהם הרבה פעמים במתמטיקה. זה בעצם משחק של הגדרות. ממציאים הגדרות ורואים לאן זה מוביל אותנו. אם זה מוביל אותנו למקום לא ברור, מנסים למצוא הגדרות אחרות.

ולפעמים זה יוצא מוזר כי מגלים שאסור לנו לחלק באפס ביי מה זאת אומרת אסור? מקבלים מכות אם מחלקים באפס? זה קשור לשאלה איך מגדירים חילוק. אם אני צריך לחלק שישה המבורגרים טבעוניים לשני תל אביבים, כל אחד יקבל שלושה. מה קורה אם אני צריך לחלק שישה המבורגרים טבעוניים לאפס תל אביבים? או לאפס רמת גנים? או לאפס אנשים עם הזכרת בתיה? מה התשובה? אפס? שש? לא כל כך ברור. אז בואו נראה אם אפשר להגדיר חילוק בצורה שתואמת את איך שחשבנו על המבורגרים טבעוניים ותל אביבים, אבל שגם תיתן תשובה לשאלה.

אז הנה אפשרות. חילוק זה פשוט כפל, שאחד הכופלים לא מספרים לנו מהו. כלומר, את השאלה כמה זה 6 לחלק ל-2, אפשר גם לומר כמה. כמה פעמים שתיים זה שש. כלומר, נגיד שאנחנו אוספים זוגות של קורקינטים מהמדרכה אל פח הזה ולקרוב. לוקחים שני קורקינטים בכל פעם וזורקים לפח. אחרי כמה זוגות תהיו בפח שישה קורקינטים בסך הכל שלושה זוגות ועכשיו נשאל עם 0, נגיד בכל פעם לוקחים 0 קורקינטים וזורקים לפח אחרי כמה פעמים שנעשה את זה יהיו בפח 6 קורקינטים

אף פעם. לא משנה כמה פעמים ניקח אפס קורקינטים, לעולם, לעולם, לעולם לא נגיע לשם. אז אין שום מספר שנותן תשובה מניחה את הדעת לשאלה כמה זה 6 לחלק ל-0. או 2 לחלק לאפס, או מיליארד לחלק לאפס. ואז אומרים שזה לא מוגדר. לא שזה אסור, זה פשוט לא מוגדר. ואי אפשר להמשיך חישוב בצורה שתראה הגיונית למישהו, אם באמצע מחלקים באפס.

אם נתקלתם פעם באינטרנט בהוכחה, ופה אני עושה מרחאות באוויר כי זה מאוד מתאים למדיום, שאחד שווה לאפס, אז הסיבה שההוכחה נראית הגיונית היא כי בדרך אל השורה התחתונה מתעתאים מתחת לשטיח חלוקה באפס. وما هي 0x0? זה נחמד אבל מסיבה אחרת. אם אני לוקח בכל שלב אפס קורקינטים מהמדרכה וזורק לפח, אחרי כמה פעמים יהיו בפח אפס קורקינטים? ובכן, אחרי הפעם הראשונה.

וגם אחרי הפעם השנייה וגם אחרי הפעם המיליון וגם בלי לעשות את זה בכלל כלומר אחרי הפעם האפ אז 6 לחלק ל-0 לא מוגדר כי אין מספר שייתן תשובה לשאלה, אבל 0 לחלק ל-0 לא מוגדר ולא יכול להיות מוגדר בצורה יחידה. כי כל מספר הוא תשוב על השאלה. וגם זאת בעיה עבורנו. כי אם אפשר לדחוב 0, לחלק ל-0 באמצע, ולהמשיך את החישוב עם כל תוצאה שבא לנו, אז זה די מערער את היכולת שלנו לעשות חישובים.

ואגב, 0 הוא גם לא ראשוני ולא פריק, כי בעצם אפשר לקחת כל מספר שנרצה ולומר שהוא גורם של 0. כי אם קופלים אותה ב-0, נקבל שוב 0. כלומר, אין פירוק יחיד לגורמים ראשונים שנותנת 0. והיעדר היחידות פה הוא הבא.

וההצדקה היא זו הרבה פעמים יש רשימה כזו איפשהו בזיכרון של המחשב וכשרוצים למצוא את התא שממוספר במספר כלשהו מוסיפים לכתובת בזיכרון את המספר של התא ווואלה מגיעים למקום שצריך אז אפס לא תמיד היה מספר בהתחלה הוא היה פשוט סימון בספרי חשבונות מצרים לחמות מאוזנת שהיא לא בזכות ולא בחובה או לגובה פני הקרקע אחר כך אפס סימן עמודה ריקה אצל הסינים, ההודים ובני המעיה. על כל פנים היום אפס הוא בהחלט כן מספר, וזה לא כזה מובן מאליו, היוונים למשל לא חשבו ככה. ואפשר להבין אותם. אבל אנחנו כן.

ואם אנחנו מגדירים מספרים באמצעות גודל של קבוצות כמו שמתמטיקאים מודרנים נוהגים לעשות זה גם הגיוני ואפס הוא לא חיובי ולא שלילי לא ראשוני ולא פריק אבל הוא כן זוגי כי צנצנות שלוגיות וחילוק של מספר אחר באפס לא מוגדר כי אין שום מספר שיתן תשובה הגיונית, אבל חילוק של אפס בעצמו לא מוגדר כי כל מספר ייתן תשובה הגיונית. ומתכנתים מתחילים מספור מאפס. ואני מתכנת. אז זה היה פרק ה-0 של מתמטיקה שמתמטיקה. פודקאסט על מתמטיקה ללא מתמטיקה.