Oggi ci avventuriamo in un territorio da. Vvero affascinante la matematica di frontiera, non quella che si trova, diciamo, sui libri di testo, ma quella che nasce oggi su Internet dalla passione di ricercatori indipendenti. Abbiamo sottomano due lavori di un autore di nome Alberico Lepore, che fa delle affermazioni piuttosto audaci sui numeri primi e sulle potenze. La nostra missione? Capire se ci troviamo di fronte a un'intuizione geniale OA un'affascinante e vicolo cieco.
OK, pronti a sporcarci le mani con un po di matematica? Prontissima guarda, è un'opportunità fantastica per vedere la scienza proprio mentre si fa. Questi documenti non sono articoli patinati, definitivi, sono più come degli appunti di laboratorio aperti al mondo, ed è questo che li rende così interessanti. Perfetto. Allora partiamo dal primo documento intitolato Crivello di Lepore 4 1.
Crivello, per chi magari non lo sapesse, è in pratica un metodo per setacciare i numeri e tenersi solo quelli primi. Un po come. Come un setaccio per la sabbia che trattiene le pietre preziose. Esatto, una trappola per numeri primi e quella proposta qui è molto, molto particolare. Decisamente il quale di tutto è un'equazione piuttosto intricata. Non ci perderemo nei simboli, ma l'idea di fondo è questa, l'autore ha costruito una specie di macchina matematica.
Se inserisci in questa macchina un numero primo di una certa forma, specificamente 12 F +5, questa macchina produce un unico risultato. Una singola coppia di numeri e. L'aspetto geniale qui è che l'autore non inventa questa macchina dal nulla. Nella sua dimostrazione, anche se solo abbozzata, la collega concetti vecchi di secoli come l'eterne, pitagoriche e soprattutto il teorema di fermat sulla somma di due quadrati. Ok, rifressami la memoria, di cosa si tratta? Allora fermate.
Scoprì nel 1600 che ogni numero primo della forma a quattro Z +1 si può scrivere in un modo unico come somma di due quadrati, per esempio 13 che è quattro per 3+1, si può scrivere come 9+4, cioè 3^2+2^2, e non ci sono altre combinazioni. Quello che Lepore sembra fare è collegare la sua nuova complessa equazione a questo pilastro della teoria dei numeri, è come se avesse trovato un messaggio nascosto di fermata all'interno
di un problema moderno. Ci dice che se ha ragione, la sua non è un'idea campata in aria, ma ha radici profonde. Wow. Quindi se costruendo un grattacielo moderno, ma le fondamenta sono quelle di un tempio antico. Ma è qui che la faccenda si fa davvero interessante. L'autore presenta quella che
chiama una congettura. Che in matematica è un po come la mappa di un tesoro disegnata da un esploratore, sembra promettente, indica dove scavare, ma nessuno sa con certezza se il tesoro esista finché la comuni. Un va lì e scava per davvero. E questa mappa del Tesoro dice che se un numero di quella forma non è primo, la sua macchina matematica si comporta in modo strano, o non produce nessun risultato, o ne produce più di uno, oppure, ed è questo il punto cruciale, ne produce uno solo.
Ma questo risultato ha qualcosa che non va. C'è una condizione specifica sul massimo comun divisore, l'm C. D esatto qu? Esto è il vero colpo di genio, secondo me. La congettura dice che se anche per caso un numero composto produce una soluzione unica, quella soluzione porterà con sé la prova della sua colpevolezza.
I due numeri MN che formano la soluzione se usati in una semplice espressione, cioè quattro N Plus uno e quattro M Plus uno, non saranno coprimi tra loro, il loro massimo comun divisore sarà diverso da uno. Aspetta un attimo a prima vista, sembra una regola tirata fuori dal nulla, no? C'è un'intuizione sul perché proprio questa proprietà dell'm CD dovrebbe essere il test di primalità decisivo. Sembra quasi 1 1 controllo di sicurezza aggiuntivo.
È un'analogia perfetta. E per estenderla, potremmo dire che se l'unicità della soluzione è come avere una chiave con la forma giusta per la toppa, il controllo dell MCD è come controllare la firma incisa su quella chiave. Non solo deve avere la forma giusta, ma deve anche avere un sigillo di autenticità. Se quel sigillo manca, cioè se il MCD non è uno, la chiave è un falso e la porta della primalità
non si apre. L'intuizione profonda che andrebbe dimostrata è che la struttura dei fattori di un numero composto inquini in qualche modo la soluzione Nm in un modo prevedibile, lasciando questa traccia nel MCD. Incredibile quindi non basta trovare la chiave, la chiave
stessa deve essere pulita. E per rendere tutto questo concreto, il documento non si ferma alla teoria, descrive un algoritmo, parla di creare array, di contare le occorrenze e fornisce persino un link a un repository github. Il codice questo è un punto fondamentale nel mondo della ricerca moderna. Non dice solo fidatevi di me, ma ecco gli strumenti provate voi stessi. Anzi analizza anche la complessità computazionale.
Stimandola in no di Squillroot Max interval, che per un crivello è molto buona, dimostra di aver pensato non solo all'eleganza della teoria, ma anche alla sua efficacia pratica. Quindi il primo paper è un'affascinante tentativo di costruire una nuova e più astuta trappola per i numeri primi. Ma non è l'unico puzzle su cui Lepore si è rovellato, il secondo documento che abbiamo analizza un problema quasi inverso.
Esatto, se il primo cercava di capire se un numero è indivisibile, cioè primo, il secondo parte da un numero che sappiamo già essere, beh, costruito come una potenza tipo m uguale AN, ad esempio 81 che è tre elevato alla quattro e cerca di risalire alla sua base, al suo mattone fondamentale, in questo caso il tre. E il metodo che propone per farlo? Quasi magico, si fa in tre mosse. Immagina di avere il tuo numero. Per prima cosa lo metti al quadrato.
Sembra un passaggio strano, ma è il primo ingrediente. Un primo passo contro intuitivo, che è spesso il marchio di un approccio originale. Poi si usa questo m al quadrato in un'operazione di aritmetica modulare, una specie di calcolo dell'orologio su scala enorme, e alla fine il colpo di scena si combina il risultato di questo calcolo con il numero originario mando. Usando proprio il nostro amico, il massimo comun divisore e come per magia salta fuori la base a
che cercavamo. Il documento lo illustra benissimo con l'esempio m uguale 9 che sappiamo essere 3^2. Primo passo, 9^2 fa 81. Secondo passo, si esegue quel calcolo modulare due può 81 mod 162. Terzo passo, si calcola l'm CD tra il risultato ottenuto e il 9 originale e il risultato è proprio tre, la base. Vederlo funzionare su un esempio semplice lo rende molto
tangibile. C'è un mappero, un avvertimento importante, l'autore scrive che il metodo funziona sempre con delle eccezioni per i numeri primi e che può funzionare o meno se la base non è prima, e queste eccezioni hanno un nome e con nome i primi di wifferich. E qui la storia si fa ancora più profonda, nominare i primi di wiferich non è una debolezza, è un indizio. OK, fermi tutti, devo ammettere che qui mi perdo. Che cosa diavolo è un primo di wifich? E perché dovrebbe interessarci?
Allora? Di spiegarlo in modo semplice, pensa all'aritmetica modulare come all'aritmetica di un orologio per quasi tutti i numeri primi IP. Se fai un certo calcolo due P -1 e lo dividi per p, ottieni un numero intero, ma se lo dividi per p al quadrato, p al quadrato quasi sempre ti rimane un resto. I primi di wefer sono dei ribelli incredibilmente rari, ad oggi ne conosciamo solo due. 1093 e 3111 per loro e solo per loro.
Quel calcolo, contro ogni probabilità, non lascia alcun resto quando lo dividi per p al quadrato. Quindi sono dei disadattati della matematica, numeri che non seguono le regole comuni. Esattamente il fatto che l'algoritmo di Lepore si blocchi proprio su questi disadattati cosmici è un indizio fortissimo che il suo metodo non è casuale, è connesso a strutture profonde e misteriose della teoria dei
numeri in matematica. Le eccezioni a una regola sono spesso più illuminanti della regola stessa, diciamo. Ci dicono dove si trovano i confini di una teoria? L'autore stesso lo riconosce quando scrive che questo apre la porta a ulteriori ricerche. Non è una dichiarazione di fallimento, ma un invito a investigare più a fondo. Questo mi porta a fare un passo indietro. Abbiamo analizzato questi due documenti pieni di formule, congetture e codice e poi alla fine ci sono i ringraziamenti.
E non sono professori universitari OA istituti di ricerca. Ringrazio utenti di Facebook e di forum con nomi come il Filibustero e Perigan Ibu. Cosa ci dice questo del modo in cui la ricerca viene condotta oggi? Ci mo? Stra un modello di ricerca completamente diverso, questo è il garage del ricercatore del ventunesimo secolo, un forum online, un repositorio su github, una discussione su un
social network. L'autore non aspetta il timbro di approvazione di una rivista accademica, presenta il suo lavoro direttamente al pubblico, in uno Stato quasi embrionale e dice, ecco la mia idea, cosa ne pensate? Distruggetela migliorate la testatela? Si percepisce un grande entusiasmo, un'urgenza di condividere la scoperta ma anche l'onestà di dire, queste sono per ora, affermazioni non verificate, non c'è la pretesa di aver trovato una verità assoluta, no?
Proprio così e questo. Ci porta a una domanda fondamentale sulla validazione nella scienza, come fa un'idea, nata magari in una discussione notturna su un forum, a diventare teoria accettata? Richiede un processo lungo e rigoroso di verifica da parte della Comunità. Questi documenti sono il primo passo di quel viaggio, sono l'equivalente moderno della lettera che un matematico del diciassettesimo secolo come Fermao Pascal avrebbe inviato un collega per condividere una nuova scoperta.
Un invito aperto quindi a partecipare al processo scientifico, non un proclama dall'alto di una cattedra universitaria, ma un guardate cosa ho trovato, provateci anche voi. È un approccio molto più democratico. Democratico, sì, ma che pone anche l'onere della prova e della verifica in modo più distribuito. Chiunque legga questi lavori ha la responsabilità di applicare un esame critico, di separare le intuizioni brillanti da eventuali errori.
È un modello più vulnerabile, forse, ma anche incredibilmente più dinamico. Quindi, Ricapitolando, abbiamo visto due tentativi audaci di risolvere problemi matematici secolari, non da università prestigiosa ma. Catore indipendente che usa gli strumenti del nostro tempo.
Esatto, abbiamo visto la meccanica delle sue idee come la geniale condizione sul MCD nel Crivello per i numeri primi e abbiamo visto i loro limiti riconosciuti, come nel caso dei primi di wifferich che ci ricordano che le imperfezioni e le eccezioni in matematica non sono fallimenti ma inviti aperti a partecipare alla scoperta. Ma rizzerete grande, forse non solo. È solo nelle formule, ma nel
metodo stesso. La scienza oggi può davvero nascere in una discussione su un forum ed essere testata su github da chiunque nel mondo? E con questo lasciamo un ultimo pensiero su cui riflettere. Il primo documento si intitola Crivello di Lepore, quattro in un qualsiasi intervallo. Quel quattro nel nome non sembra casuale, vero? Suggerisce fortemente l'esistenza di un crivello 1 1 crivello due e un crivello tre. E questo ci invita a pensare al percorso non visibile dietro una scoperta.
A tutti i tentativi, gli errori, le versioni scartate e le rifiniture che hanno portato a questa formulazione. Ci spinge a considerare non solo il risultato finale che leggiamo, ma l'intero processo iterativo, spesso frustrante e solitario della ricerca. Ogni idea è solo l'ultima tappa di un lungo viaggio.